背包知识点

01背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

二维

for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }      

作者：深蓝
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1374/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

一维

for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= 0; j--)
    {
        if(j < v[i]) 
            f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前
            f[j] = f[j];            // 优化后，该行自动成立，可省略。
        else    
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);                   // 优化后
    }    

作者：深蓝
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实际上，只有当枚举的背包容量 >= v[i] 时才会更新状态，因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = m; j >= v[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
} 

完全背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

朴素解法

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)//较于01多了一重遍历选取几个的循环
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}


作者：Charles__
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又因为

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

可得

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//极类似于01背包
}

最终结果

for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

多重背包

有 N种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

朴素版 n，v<100

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10005],b[10005],t=0,n,m,dp[10005]={ },w,v,s;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    while(n--)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        while(s--)
        {
            a[++t]=v;
            b[t]=w;
        }//死拆，把多重背包拆成01背包
    }
    for(int i=1;i<=t;i++)
    for(int j=m;j>=a[i];j--)
    dp[j]=max(dp[j-a[i]]+b[i],dp[j]);//直接套01背包的板子
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

作者：8年级的蒟蒻
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优化：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005],n,t,v,w,s;
//物品数量 容积 价值 占地 数量
main()
{
    cin>>n>>t;
    while(n--)
    {
    cin>>w>>v>>s;
    for(int i=1;i<=s;i++)
    for(int j=t;j>=w;j--)
    dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);
    }
    cout<<dp[t];
}

单调队列优化 n，v<10000

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20010;

int dp[N], pre[N], q[N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        memcpy(pre, dp, sizeof(dp));
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 0; j < v; ++j) {
            int head = 0, tail = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v) {

                if (head <= tail && k - s*v > q[head])
                    ++head;

                while (head <= tail && pre[q[tail]] - (q[tail] - j)/v * w <= pre[k] - (k - j)/v * w)
                    --tail;

                if (head <= tail)
                    dp[k] = max(dp[k], pre[q[head]] + (k - q[head])/v * w);

                q[++tail] = k;
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

作者：lys
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