最短路知识点

2022-10-07

2.7k- 13m- -

学力扣-最短路 dijkastra bellman_ford floyd

单源最短路

正权边

朴素dijkstra（稠密）O( $n^2$ )

int g[N][N], dis[N], n, m;//g[N][N]为邻接矩阵用于存储每条边，dis[N]存储某个点到1号点的最小距离， n为点数，m为边数
bool visit[N];//储存每个点的最短路是否确定

int dijkstra()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
    {
        int t = -1;//在未确定最短路的点中寻找距离一号店点最近的点
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(!visit[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j]))
                t = j;
        }

        visit[t] = true;
        //用t更新其他点的距离
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dis[j] = min(dis[j], dis[t] + g[t][j]);
        }
    }
    return dis[n];
}

例题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int n, m;
int g[N][N]; //用邻接矩阵存储图
int dist[N]; //用来存储当前的最短距离是多少
bool st[N];  //表示当前的这个点的最短距离是不是已经被确定了
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); //所有距离初始化成正无穷
    dist[1] = 0;                      //第一个点的距离初始化成0
    for (int i = 0; i < n; i++)       //迭代n次
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) //找到距离没有被确定的点中，距离最小的点
        {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        st[t] = true;                                  //将t加入已经确定的点的集合中去
        for (int j = 1; j <= n; j++)                   //用这个点的距离更新所有点的距离
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); //用1-j的距离加上j-k的距离更新最小值
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) //如果距离没有被更新过，就说明两个点之间不能联通
        return -1;
    else //否则存在最短距离，返回最短距离
        return dist[n];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof(g)); //距离初始化成正无穷
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = min(g[a][b], c); //重边取一条最短的即可
        //自环一定不会出现在最短路中
    }
    int t = dijkstra();
    cout << t << endl;
    return 0;
}

堆优化dijikstra（稀疏）O(mlogn)

typedef pair<int, int> P;
int h[N], ne[N], e[N], w[N], idx;//用邻接表来储存边
//h[i]代表的是第i个节点的最新的边，idx为边的编号 e[idx]存放的是边的终点
//next[i]存储的是“编号为i的边”的“前一条边”的编号。
void add(int a,int b,int c)
int n, m, dis[N];//储存所有点到一号点的距离
bool visit[N];//判断每个点的最短路是否确定

void add(int a, int b, int c)//将边添加到邻接表中
{
    e[idx] = b;//边idx的终点是b
    w[idx] = c;//边idx的权值是c
    ne[idx] = h[a];//边idx的上一条边的编号是h[a]
    h[a] = idx++;//节点a的最新一条边的编号是idx
    //事实上，每个节点只储存了权值和终点，起点以上一条边的编号间接储存
}

int dijkstra(void)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > heap;//小根堆
    heap.push({0, 1});//first储存距离， second储存编号
    
    while(!heap.empty())
    {
        P t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;
        if(visit[ver]) continue;
        visit[ver] = true;

        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dis[j] > distance + w[i])
            {
                dis[j] = distance + w[i];
                heap.push({dis[j], j});
            }
        }
    }
    return dis[n];
}

例题：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII; //对于每一个点维护一个二元组，第一个元素存储距离，第二个元素存储节点编号
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx, w[N]; //用邻接表存储图,w数组用来存储每个边的权重
int dist[N];                      //用来存储当前的最短距离是多少
bool st[N];                       //表示当前的这个点的最短距离是不是已经被确定了
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));                    //所有距离初始化成正无穷
    dist[1] = 0;                                         //第一个点的距离初始化成0
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; //用堆优化，更加快捷的找到距离的最小值
    heap.push({0, 1});
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.second, distance = t.first;
        if (st[ver]) //如果这个点已经确定距离最小值，直接跳出
            continue;
        st[ver] = true;
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) //遍历单链表，得到这个节点能到的每一个节点
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i]) //更新这个节点的距离
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j}); //更新之后直接进队
            }
        }
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) //如果距离没有被更新过，就说明两个点之间不能联通
        return -1;
    else //否则存在最短距离，返回最短距离
        return dist[n];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h)); //距离初始化成正无穷
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c); //算法保证取出最短路，因此不需要对重边进行处理
    }
    int t = dijkstra();
    cout << t << endl;
    return 0;
}

负权边

bellman-floyd O(mn)

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

例题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e5 + 10;
struct edge
{
    int a, b, w; //用来存储每一条边，a是起点，b是终点，w是距离
} edges[M];
int m, n, k;
int dist[N];   //存储距离
int backup[N]; //用来备份，避免发生串联
int bellman_ford()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1]=0;
    for (int i = 0; i < k; i++) //表示边数小于等于i的时候的最短路，如果到第n次还在迭代，说明是负环
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof(dist)); //备份，保证每一次迭代都只用上一次迭代的结果，避免发生串联
        for (int j = 0; j < m; j++)
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -1; //注意这个写法，可能会存在两个点之间无法到达，但是可以被更新的恶心情况
    else return dist[n];
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    int t = bellman_ford();
    if (t == -1)
        cout << "impossible" << endl; //表示最短路不存在
    else
        cout << t << endl;
    return 0;
}

spfa O(m)-O(mn)

int h[N], w[N], ne[N], e[N], idx;//用邻接表储存边
int n, m, dis[N];//储存每个点到1号点距离
bool visit[N];//判断每个点是否在队列中

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa(void)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[1] = 0;

    queue<int> heap;
    heap.push(1);
    while(!heap.empty())
    {
        int t = heap.front();
        heap.pop();

        visit[t] = false;
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dis[j] > dis[t] + w[i])
            {
                dis[j] = dis[t] + w[i];
                if(!visit[j])
                {
                    heap.push(j);
                    visit[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return dis[n];
}

例题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx, w[N]; //用邻接表存储图,w数组用来存储每个边的权重
int dist[N];                      //用来存储当前的最短距离是多少
bool st[N];                       //表示这个当前点是否在队列中
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    queue<int> vis;
    vis.push(1);
    st[1] = true; //表示这个点在队列中
    while (vis.size())
    {
        int t = vis.front();
        vis.pop();
        st[t] = false; //出队即更新st数组
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) //遍历这个点能到达的所有点
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])  //检查一下这个点的距离能不能被更新
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) //如果这个点不在队列中，就把这个点加入队列用于更新其他点
                {
                    vis.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
        return -1;
    else
        return dist[n];
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h)); //距离初始化成正无穷
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c); //算法保证取出最短路，因此不需要对重边进行处理
    }
    int t = spfa();
    if (t == -1)
        cout << "impossible" << endl;
    else
        cout << t << endl;
    return 0;
}

多源最短路

floyd O( $n^3$ )

int dis[N][N], n, m, k;

int floyd()
{
    for(int k = 1; k <= n; k++)//k要写外面
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)//i，j互相嵌套，顺序不重要
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
            }
        }
    }
}

例题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, op;
int d[N][N]; //邻接矩阵
void floyd() //直接将邻接矩阵更新成a到b的最短路
{
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> op;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i == j)
                d[i][j] = 0;
            else
                d[i][j] = INF;
        }
    while (m--)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        d[a][b] = min(d[a][b], w);
    }
    floyd();
    while (op--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        if (d[a][b] > INF / 2) //注意存在负权边的时候判定最短路可能不一样
            cout << "impossible" << endl;
        else
            cout << d[a][b] << endl;
    }
    return 0;
}

我很可爱，请给我钱

本文作者：shedding-ash
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